固定复数 w 。定义
\begin{aligned}
\text{$E_w$:} \quad
\mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\
x & \mapsto \exp {wx}
\end{aligned}
现在我们借助 E_w 研究 \exp 的性质。
(0) E_w 可微，且 \mathrm{D} E_w = w E_w 。
为了论证此事，先写出 E_w 的幂级数表达：
\begin{aligned}
\text{$E_w$:} \quad
\mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\
x & \mapsto \sum_{n \geq 0} {\frac{w^n}{n!} x^n}
\end{aligned}
现在应该很清楚了：对任意实数 x ，
\mathrm{D} E_w (x) = \sum_{n \geq 1} {n \frac{w^n}{n!} x^{n-1}} = w \sum_{n \geq 1} {\frac{w^{n-1}}{(n-1)!} x^{n-1}} = w E_w (x)
(1) 对任意复数 w ，必有 \exp w \cdot \exp {(-w)} = 1 。
为论证此事，我们借助 E_w 。不难看到，这就是想让我们论证 E_w (1) E_{-w} (1) = 1 ，因此我们可以作函数 f = E_w \cdot E_{-w} 。显然 f(0) = 1 。所以，有没有可能， f 是常函数 1 ？我们可以试求 f 的导数：
\mathrm{D} f = \mathrm{D} E_w \cdot E_{-w} + E_w \cdot \mathrm{D} E_{-w} = (w - w) E_w E_{-w} = 0
这么看来， f 必定是常数了。因为 f(0) = 1 ，所以 f(1) 也一定是 1 。
顺便一提，这表明： \exp 一定取不到零值。
(2) 对任意复数 v, w ，必有 \exp {(v + w)} = \exp v \cdot \exp w 。
还是借助 E_w 。由 (1)，这相当于要论证 \exp {v} \cdot \exp {w} \cdot \exp {(-v - w)} = 1 。因此，作 g = E_v E_w E_{-v - w} 。显然 g(0) = 1 。我们要论证 g(1) = 1 。还是老样子，论证 g 为常函数即可。求导：
\mathrm{D} g = \mathrm{D} (E_v E_w) \cdot E_{-v - w} + (E_v E_w) \cdot \mathrm{D} E_{-v - w}
由此不难验证， \mathrm{D} g = 0 。所以 g 是常函数 1 。
(3) \exp z 的复共轭是 \exp {\overline{z}} （所谓复共轭，就是实部相等，虚部反号）。
此事的论证更简单了，甚至都不需要微分学。设
s_n (z) = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \cdots + \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}
那么 \lim_{n \to \infty} s_n (z) 就是 \exp z 。所以 \lim_{n \to \infty} s_n (\overline{z}) 当然是 \exp {\overline{z}} 。不过
s_n (\overline{z}) = \overline{s_n (z)}
所以
\exp {\overline{z}} = \lim_{n \to \infty} s_n (\overline{z}) = \lim_{n \to \infty} {\overline{s_n (z)}} = \overline{\lim_{n \to \infty} s_n (z)} = \overline{\exp z}
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固定复数 $w$ 。定义
$$
\begin{aligned}
\text{$E_w$:} \quad
\mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\
x & \mapsto \exp {wx}
\end{aligned}
$$
现在我们借助 $E_w$ 研究 $\exp$ 的性质。
(0) $E_w$ 可微，且 $\mathrm{D} E_w = w E_w$ 。
为了论证此事，先写出 $E_w$ 的幂级数表达：
$$
\begin{aligned}
\text{$E_w$:} \quad
\mathbb{R} & \to \mathbb{C}, \\
x & \mapsto \sum_{n \geq 0} {\frac{w^n}{n!} x^n}
\end{aligned}
$$
现在应该很清楚了：对任意实数 $x$ ，
$$
\mathrm{D} E_w (x) = \sum_{n \geq 1} {n \frac{w^n}{n!} x^{n-1}} = w \sum_{n \geq 1} {\frac{w^{n-1}}{(n-1)!} x^{n-1}} = w E_w (x)
$$
(1) 对任意复数 $w$ ，必有 $\exp w \cdot \exp {(-w)} = 1$ 。
为论证此事，我们借助 $E_w$ 。不难看到，这就是想让我们论证 $E_w (1) E_{-w} (1) = 1$ ，因此我们可以作函数 $f = E_w \cdot E_{-w}$ 。显然 $f(0) = 1$ 。所以，有没有可能， $f$ 是常函数 $1$ ？我们可以试求 $f$ 的导数：
$$
\mathrm{D} f = \mathrm{D} E_w \cdot E_{-w} + E_w \cdot \mathrm{D} E_{-w} = (w - w) E_w E_{-w} = 0
$$
这么看来， $f$ 必定是常数了。因为 $f(0) = 1$ ，所以 $f(1)$ 也一定是 $1$ 。
顺便一提，这表明： $\exp$ 一定取不到零值。
(2) 对任意复数 $v$, $w$ ，必有 $\exp {(v + w)} = \exp v \cdot \exp w$ 。
还是借助 $E_w$ 。由 (1)，这相当于要论证 $\exp {v} \cdot \exp {w} \cdot \exp {(-v - w)} = 1$ 。因此，作 $g = E_v E_w E_{-v - w}$ 。显然 $g(0) = 1$ 。我们要论证 $g(1) = 1$ 。还是老样子，论证 $g$ 为常函数即可。求导：
$$
\mathrm{D} g = \mathrm{D} (E_v E_w) \cdot E_{-v - w} + (E_v E_w) \cdot \mathrm{D} E_{-v - w}
$$
由此不难验证， $\mathrm{D} g = 0$ 。所以 $g$ 是常函数 $1$ 。
(3) $\exp z$ 的复共轭是 $\exp {\overline{z}}$ （所谓复共轭，就是实部相等，虚部反号）。
此事的论证更简单了，甚至都不需要微分学。设
$$
s_n (z) = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \cdots + \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}
$$
那么 $\lim_{n \to \infty} s_n (z)$ 就是 $\exp z$ 。所以 $\lim_{n \to \infty} s_n (\overline{z})$ 当然是 $\exp {\overline{z}}$ 。不过
$$
s_n (\overline{z}) = \overline{s_n (z)}
$$
所以
$$
\exp {\overline{z}} = \lim_{n \to \infty} s_n (\overline{z}) = \lim_{n \to \infty} {\overline{s_n (z)}} = \overline{\lim_{n \to \infty} s_n (z)} = \overline{\exp z}
$$
