定义三角函数

大家好。我将作一个小小的才艺展示——定义三角函数。

先说清楚。本文的内容不影响各位如何应用三角函数;本文只从技术的角度定义二个最基本的三角函数,并讨论其简单的性质。

如果您觉得本论坛的公式显示不正常,您可以去这里看本文:

虽然我也不知道为什么本论坛会这个样子就是了。

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大家从小学就学过圆周率 2\pi/2 。对,这是圆的周长与其直径的比。不过,您在小学是否想过,圆的周长与其直径的比会不会发生变化?

大家还学了扇形的面积。具体地说,若一个扇形的圆心角为 n^{\circ} ,半径为 r ,则其面积为

\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi n}{360} \cdot r^2

这个公式又是怎么来的呢?小学或初中的算学教科书似乎并没有严格地证明此事。

You could see the source code here.
大家从小学就学过圆周率 $2\pi/2$ 。对,这是圆的周长与其直径的比。不过,您在小学是否想过,圆的周长与其直径的比会不会发生变化?

大家还学了扇形的面积。具体地说,若一个扇形的圆心角为 $n^{\circ}$ ,半径为 $r$ ,则其面积为
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi n}{360} \cdot r^2
$$
这个公式又是怎么来的呢?小学或初中的算学教科书似乎并没有严格地证明此事。
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注:大家不要过于在意我为什么写 2\pi/2 而不是 \pi 。如果一定要问原因,我只能说:我认为 2\pi\pi 更为自然。

您可能学过一点儿微积分。您可能也知道,积分可用于计算图形的面积。所以,您可能就想用积分计算扇形的面积。具体地,设扇形的圆心角为 \theta (这里采用“弧度制”,且假定 0 < \theta < 2\pi/4 ),且其半径为 r ,那么这个扇形的面积为

\frac{1}{2} \cdot r \cos \theta \cdot r \sin \theta + \underbrace{\int_{r \cos \theta}^{r} {\sqrt{r^2 - x^2} \,\mathrm{d}x}}_{I}

我们该如何计算积分 I 呢?一般来说,我们需要“三角换元”。具体地,作变量替换 x = r \sin \varphi ,其中 2\pi/4 - \theta \leq \varphi \leq 2\pi/4 。所以

I = \int_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} {\sqrt{r^2 - r^2 \sin^2 \varphi} \cdot r \cos \varphi \,\mathrm{d}\varphi} = r^2 \int_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} {\cos^2 \varphi \,\mathrm{d}\varphi}

因为

\cos^2 \varphi = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2\varphi

I = r^2 \cdot \bigg[ \frac{1}{2}\varphi + \frac{1}{4} \sin 2\varphi \bigg]_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} = \frac{1}{2} \theta r^2 - \frac{1}{2} r^2 \cos \theta \sin \theta

所以扇形的面积为 \frac{1}{2} \theta r^2

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您可能学过一点儿微积分。您可能也知道,积分可用于计算图形的面积。所以,您可能就想用积分计算扇形的面积。具体地,设扇形的圆心角为 $\theta$ (这里采用“弧度制”,且假定 $0 < \theta < 2\pi/4$ ),且其半径为 $r$ ,那么这个扇形的面积为
$$
\frac{1}{2} \cdot r \cos \theta \cdot r \sin \theta + \underbrace{\int_{r \cos \theta}^{r} {\sqrt{r^2 - x^2} \,\mathrm{d}x}}_{I}
$$
我们该如何计算积分 $I$ 呢?一般来说,我们需要“三角换元”。具体地,作变量替换 $x = r \sin \varphi$ ,其中 $2\pi/4 - \theta \leq \varphi \leq 2\pi/4$ 。所以
$$
I = \int_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} {\sqrt{r^2 - r^2 \sin^2 \varphi} \cdot r \cos \varphi \,\mathrm{d}\varphi} = r^2 \int_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} {\cos^2 \varphi \,\mathrm{d}\varphi}
$$
因为
$$
\cos^2 \varphi = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2\varphi
$$
故
$$
I = r^2 \cdot \bigg[  \frac{1}{2}\varphi + \frac{1}{4} \sin 2\varphi \bigg]_{2\pi/4 - \theta}^{2\pi/4} = \frac{1}{2} \theta r^2 - \frac{1}{2} r^2 \cos \theta \sin \theta
$$
所以扇形的面积为 $\frac{1}{2} \theta r^2$ 。

注意到,我们使用了三角函数的导数公式。具体地说,我们用到了 \sin 的导数是 \cos 这件事。

为什么 \sin 的导数是 \cos ?依导数的定义, \sin 于点 x 的导数为

d = \lim_{h \to 0} \frac{\sin {(x+h)} - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{{\sin x} (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}

我们学习过重要极限之一

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1

从而

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = -\frac{1}{2}\lim_{h \to 0} \sin h \cdot \frac{\sin h}{h} = 0

d = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = \cos x
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注意到,我们使用了三角函数的导数公式。具体地说,我们用到了 $\sin$ 的导数是 $\cos$ 这件事。

为什么 $\sin$ 的导数是 $\cos$ ?依导数的定义, $\sin$ 于点 $x$ 的导数为
$$
d = \lim_{h \to 0} \frac{\sin {(x+h)} - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{{\sin x} (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
$$
我们学习过重要极限之一
$$
\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1
$$
从而
$$
\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = -\frac{1}{2}\lim_{h \to 0}  \sin h \cdot \frac{\sin h}{h} = 0
$$
故
$$
d = \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = \cos x
$$

不明觉厉

反正这也算是“技术”,只不过不实用罢了。顺便一提,这儿公式显示确实不好看。

为什么 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}1 呢?

如果您还记得微积分里的推导,就会想起如下的推理:

0 < \theta < 2\pi/4 。那么,由几何关系,知

\frac12 \cdot 1 \cdot \sin \theta < \frac12 \cdot \theta \cdot 1^2 < \frac12 \cdot 1 \cdot \tan \theta

也就是说

0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 - \cos \theta

因为

1 - \cos \theta = 2 \sin^2 {\frac{\theta}{2}} < 2 \bigg( \frac{\theta}{2} \bigg)^2

0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < \frac{\theta^2}{2}

所以,若 0 < |h| < 2\pi/4 ,则

0 < 1 - \frac{\sin |h|}{|h|} < \frac{|h|^2}{2}

0 < 1 - \frac{\sin h}{h} < \frac{h^2}{2}

问题来了。“由几何关系”是什么意思?如果您还有印象,您可能会说,这不就是小三角形的面积小于一个扇形的面积,而此扇形的面积又小于大三角形的面积嘛!扇形的面积……啊,好家伙,循环论证了呢……

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为什么 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$ 是 $1$ 呢?

如果您还记得微积分里的推导,就会想起如下的推理:

> 设 $0 < \theta < 2\pi/4$ 。那么,**由几何关系**,知
> $$
\frac12 \cdot 1 \cdot \sin \theta < \frac12 \cdot \theta \cdot 1^2 < \frac12 \cdot 1 \cdot \tan \theta
> $$
> 也就是说
> $$
0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 - \cos \theta
> $$
> 因为
> $$
1 - \cos \theta = 2 \sin^2 {\frac{\theta}{2}} < 2 \bigg( \frac{\theta}{2} \bigg)^2
> $$
> 故
> $$
0 < 1 - \frac{\sin \theta}{\theta} < \frac{\theta^2}{2}
> $$
> 所以,若 $0 < |h| < 2\pi/4$ ,则
> $$
0 < 1 - \frac{\sin |h|}{|h|} < \frac{|h|^2}{2}
> $$
> 故
> $$
0 < 1 - \frac{\sin h}{h} < \frac{h^2}{2}
> $$

问题来了。“由几何关系”是什么意思?如果您还有印象,您可能会说,这不就是小三角形的面积小于一个**扇形的面积**,而此扇形的面积又小于大三角形的面积嘛!扇形的面积……啊,好家伙,循环论证了呢……

小半日了,没什么讨论呢。既然这样,那我也不着急更新了。

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hey bro where are u from?

China. Well, my first post was in English. That was just a test post, bro!

我说记得你原来好像是外国友人,但看你这个帖子翻译又不像…

我好像从没说过是“外国友人”罢!上一次只是用英语试试水。

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哈哈 我的我的

Oh,my dear friend. :slightly_smiling_face:

Hey!

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好了。最近不忙了。继续吧。

我们已经揭示了以前可能从未察觉过的问题。我们承认扇形的面积,然后用它推导三角函数的导数公式——其实这没问题。不过,扇形的面积又该怎么算?这注定不能再用微积分了——至少,不能再使用前面提到的 \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 了。

其实呢,我们也可以换个想法。为什么不能避开几何概念来定义三角函数呢?

这个想法确实好。不过,它需要大家懂一些微积分。具体地说,它需要大家懂导数和幂级数。

不过,这些知识都跟三角函数没什么关系。当然,也跟几何没什么关系。

我们复习一下吧。

事先说明:我们需要复变函数,但我们不需要研究复变函数的可微性与导数。

A \subset \mathbb{R} 。设 f: A \to \mathbb{C} 。设 a \in A 。若存在 d \in \mathbb{C} ,使对任意 \varepsilon > 0 ,存在 \delta > 0 ,当 0 < |h| < \deltaa + h \in A 时,必有

\frac{|f(a+h) - f(a) - dh|}{|h|} < \varepsilon,

则说 f 于点 a 可微,且记 \mathrm{D}f(a) = d ,称 df 于点 a 的导数。若任取 x \in Af 于点 x 可微,则说 f 可微。相应地,称函数

\begin{aligned} \text{$\mathrm{D}f$:} \quad A & \to \mathbb{C}, \\ x & \mapsto \mathrm{D}f(x) \end{aligned}

f 的导数。

You could see the source code here.
设 $A \subset \mathbb{R}$ 。设 $f$: $A \to \mathbb{C}$ 。设 $a \in A$ 。若存在 $d \in \mathbb{C}$ ,使对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,当 $0 < |h| < \delta$ 且 $a + h \in A$ 时,必有
$$
\frac{|f(a+h) - f(a) - dh|}{|h|} < \varepsilon,
$$
则说 $f$ 于点 $a$ 可微,且记 $\mathrm{D}f(a) = d$ ,称 $d$ 为 $f$ 于点 $a$ 的导数。若任取 $x \in A$ , $f$ 于点 $x$ 可微,则说 $f$ 可微。相应地,称函数
$$
\begin{aligned}
\text{$\mathrm{D}f$:} \quad
A & \to \mathbb{C},       \\
x & \mapsto \mathrm{D}f(x)
\end{aligned}
$$
为 $f$ 的导数。