几乎无变量的微积分

大家好。

本书是一本讨论一元函数微积分的算普(算学普及)读物。说是“算普”,是因为它并不打算从零教您微积分;相反,我假定您学了微积分,这给我带来了很多便利。我不必担心“我写的例不适合初学者”;我可以专心地展现这本书最想展现的对象——(几乎)无变量的微积分。(再具体一些,就是:几乎无变量的导数、不定积分、积分演算。)

或许,您还记得,在微积分里,我们一般说“函数 f(x) ”。我们计算函数 f(x) 的导数时,一般使用记号

f^{\prime}(x) \text{$\quad$ or $\quad$} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)

我们计算函数 f(x) 的不定积分时,一般写

\int {f(x)\,\mathrm{d}x}

我们计算函数 f(x) 的积分时,一般写

\int_{a}^{b} {f(x)\,\mathrm{d}x}

这些记号好吗?其实不错,因为这是经得起时间与算学家的考验的符号。我自己也承认,我初学微积分与算学分析时,用的就是这些经典的记号。不过,为什么我还要搞“无变量的微积分”呢?(直接原因是太无聊,无事可干。)先看“函数”的通俗的定义。

一般地,如果变量 y 随着变量 x 而变化,并且对于 x 取的每一个值, y 都有唯一的一个值与它对应,那么称 yx 的函数,记作 y = f(x) 。这里的 f(x) 是 a function of xx 的函数)的简记。这时叫 x 作自变量,叫 y 作因变量。对于自变量 x 取的每一个值 a ,称因变量 y 的对应值为函数值,并记其作 f(a)

您可以看到,这里的“函数”的定义还是很直观的。它以运动的观点定义了函数为何物。这也是早期的微积分里的“函数”。不过,为了严密,算学家用“抽象的方式”重定义了很多算学对象。函数也不例外。我曾提到,习惯上,我们说函数时,一般会带上“自变量”;不过,严密的函数的定义里没有“变量”,也没有“变化”“对应”这些含糊不清的说法。自然地,直接说“function”就好,而不再需要“of x ”。不过,主流的微积分的记号并没有跟进,仍沿用老记号。我不禁思考:难道微积分就必须要变量吗?不要变量行不行?我思考了一周,给出了此问题的部分解答:在讨论实数集的子集到实数集的子集的函数的微积分时,确实可以“丢掉”变量。这也是本书的主要内容。

跟去年一样,我还是开源本书的乳胶代码,并使用 CC0 许可协议。这样,您可以方便地为本书(或本书讨论的对象)作出贡献。

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冒昧的问一句…您是搞数学研究的咩?

不是。我只是一个爱好者罢了。

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我看不懂 但是感觉好厉害

为你点赞,坚持热爱很酷

毕竟这本书也要求读者学习过微积分,并能适应新的记号。

谢谢。